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<article class="post">
    
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        <h1 class="post__title">
            <a href="https:&#x2f;&#x2f;itanq.github.io&#x2f;fu-li-xie-li-lun-de-yi-chong-zhi-guan-jie-shi&#x2f;">傅里叶理论的一种直观解释</a>
        </h1>
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            <span class="post__time">2016-04-11</span>
            <span class="post__word_count">1525 Words</span>
            
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    <div class="post-content">
      <p>傅里叶理论在数学上相当复杂。但它背后是一些漂亮而又简单的概念，这些概念相对来说要容易理解一点。你可以在其他网站上找到一些关于傅里叶理论的数学公式，我在这里只是给一种在图像应用上的直观的见解。</p>
<p>**基础概念：**频率是如何表示空间的？
**高次谐波：**震幅的影响
**模拟类比：**光的傅里叶变换
**傅里叶滤波：**使用傅里叶变换进行图像处理</p>
<p id="zola-continue-reading"><a name="continue-reading"></a></p>
<h3 id="ji-chu-gai-nian">基础概念</h3>
<p>傅里叶理论认为任何信号，包括我们例子中的视觉图像，都可以表示成一系列正弦信号的和。在图像领域就是说图像的亮度存在一个正弦变化，比如下图的正弦模式在单傅里叶中可以用三个变量：1.频率，2.振幅，3.相位来表示。
<img src="http://cns-alumni.bu.edu/%7Eslehar/fourier/sin1.gif" alt="" />
并且这三个图表示了一幅图在正弦模式下的所有信息。频率在空间域中可用亮度调节。比如下图显示的空间频率要更高。
<img src="http://cns-alumni.bu.edu/%7Eslehar/fourier/sin3.gif" alt="" />
正弦信号的振幅代表了图像的对比度，也就是一幅图像中最亮和最暗的峰之间的差值。负的振幅表示对比度的反转，比如明变暗，暗变明，反之亦然。相位代表了波相对原点的位移，这里表示正弦左移或右移的距离。
一个傅里叶编码不只是对单个正弦信号的编码，而是对一些正弦信号从空间频率0（即没有调整，整个图像的平均亮度处）开始直至尼奎斯特频率（即数字可被编码的最高频率，它和图像分辨率，像素大小有关）的编码。傅里叶变换同时将图像中所有频率进行编码：一个只包含一个频率f1的信号在频谱上横坐标f为f1的点处绘制一个单峰值，峰值高度等于对应的振幅，或者正弦曲线信号的高度。如下图所示。
<img src="http://cns-alumni.bu.edu/%7Eslehar/fourier/fourier1.gif" alt="" />
DC term对应于频率为0的点，表示整幅图像的平均亮度。DCTerm=0意味着整个图像中平均亮度的像素个数为0 。同时意味(灰度图中)正弦信号在正负值之间交替，但由于灰度图中的亮度值不存在负数，出于某些数学分析原因，我们经常把傅里叶变换用镜像图来表示，在原点的的两端，频率都是增加的方向，具有相同的幅值。如下图所示：
<img src="http://cns-alumni.bu.edu/%7Eslehar/fourier/fourier2.gif" alt="" />
我前面所展示的实际上是正弦图像的一维扫描线的傅里叶变换，是一个一维信号。二维傅里叶变换其实就是对图像的每一行做一次傅里叶变换，然后再对每一列进行傅里叶变换，产生的就是原始图像的二维傅里叶变换结果。
下图显示了一幅正弦亮度图像，以及他的二维福利也变换结果，同样以亮度图展示。傅里叶图谱的每一个像素都是一个空间频率值，该值得大小由像素亮度编码而得。傅里叶图谱中的点越亮，表示原图中的对比度越高。由于在该简单图像中仅有一个傅立叶分量，所以傅里叶图像中的所有其他值都为零，表现为黑色。
<img src="http://cns-alumni.bu.edu/%7Eslehar/fourier/sin3.gif" alt="" /> <img src="http://cns-alumni.bu.edu/%7Eslehar/fourier/sin3real.gif" alt="" /></p>
<p>这里是另一个正弦亮度图像，以及其二维傅立叶变换，这次具有较低的空间频率，如前所述，显示三个峰，表示正弦曲线的峰值除了表示更接近中心DC项，也表示较低的空间频率。
<img src="http://cns-alumni.bu.edu/%7Eslehar/fourier/sin1.gif" alt="" /> <img src="http://cns-alumni.bu.edu/%7Eslehar/fourier/sin1real.gif" alt="" /></p>
<p>重要的是，傅立叶图谱与灰度图像采用完全相同的信息编码，除了以幅度作为空间频率的函数表示，而不是以亮度作为空间频率的函数表示。对傅里叶图谱进行逆傅里叶变换会得到与原始图像完全一致的像素值。正弦曲线的方向与傅里叶图像中相对于中心直流点的峰值方向有关。在下图情况下，倾斜的正弦图像在傅里叶图谱中表现为一对倾斜的波峰。
<img src="http://cns-alumni.bu.edu/%7Eslehar/fourier/sin3a.gif" alt="" /> <img src="http://cns-alumni.bu.edu/%7Eslehar/fourier/sin3areal.gif" alt="" />
不同的傅里叶系数相加组合可得到不同的组合模式，比如下面的正弦图像就是由上面的正弦图像(通过不同系数)相加得到，下图的垂直正弦图像是上图展示的较低的空间频率。
<img src="http://cns-alumni.bu.edu/%7Eslehar/fourier/sin3b.gif" alt="" /> <img src="http://cns-alumni.bu.edu/%7Eslehar/fourier/sin3breal.gif" alt="" /></p>
<p>灰度图和傅里叶图谱是完全独立的，因为他们包含了完全一样的信息。上面组合的灰度图可能是通过两个不同灰度图逐像素相加获得的，也可能是由通过傅里叶变换后再进行逐像素相加得到的结果。接下来我们就对(傅里叶图谱)进行逆傅里叶变换来得到灰度图，不管如何，结果是和原图是一样的。</p>
<h3 id="gao-ci-xie-bo-ji-zhen-fu-de-ying-xiang-higher-harmonics-and-ringing-effects">高次谐波及振幅的影响(Higher Harmonics and &quot;Ringing&quot; effects)</h3>
<p>傅里叶变换的基础是平滑的正弦函数，其被优化用于表示平滑的圆形。但是傅立叶变换实际上可以表示任何形状，甚至是具有尖锐边界的粗糙直线，(不过)这在傅立叶代码中最难表达，因为它们需要非常多的高阶项或高次谐波。这些“方波”函数如何表示为平滑的正弦曲线，举例说明如下。</p>

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                        <a href="https:&#x2f;&#x2f;itanq.github.io&#x2f;tags&#x2f;fu-li-xie&#x2f;">#傅里叶</a>
                    
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